抽卡玄学

最近玩了一个垃圾抽卡类手游，抽中的概率是4.61%，30连必中(从上次抽中开始计算，30抽必定出一张)。脸黑的人总是觉得自己一直在触发保底，那事实又是如何呢，我们用概率来算一下。

假设初始概率为4.61%，即不含保底的造成的概率修正。

从最简单的开始，假设任意抽30张卡，根据二项式分布(binomial distribution)，我们可以计算出抽到 k 张

$$P\{X=k\}=\left(\begin{matrix} 30 \\ k \end{matrix}\right) 0.0461^{k}(1-0.0461)^{30-k}$$

如上图所示，我们可以看出只抽到1张的概率是

$$P\{X\le 1\} = P\{X=0\}+P\{X=1\}=60.5\%$$

由此可见，脸黑是很正常的。

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我们再来研究一下触发保底机制。我们通常说的30连保底，是指在上一次抽到之后，如果接下来的29张不中，那么接下来的第30张必定会中。假设第 t 张抽中(无论是保底与否)，那么第(t+1)到第(t+29)张都是伯努利试验(Bernoulli trial)，满足几何分布(geometric distribution)，第(t+k)张抽中的概率为

$$P\{X=k\}=(1-0.0461)^{k-1}0.0461$$

那么第(t+30)张才抽中的概率是

$$P\{x>29\}=(1-0.0461)^{29}=25.44\%$$

且触发保底的概率是

$$P\{X> 30\}=(1-0.0461)^{30}=24.27\%$$

通常情况下，我们都是10连抽，而不是单张单张抽，那么我们以为自己触发了保底就是前20抽不中，后10抽中，其概率为

$$P\{X> 20\}=(1-0.0461)^{20}=38.91\%$$

因此，如果你急功近利，抽卡心切，那你差不多有4成的概率以为自己又保底了。

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那么修正后的概率是多少呢？修正后抽中的概率应该等于初始概率加上保底触发了的概率。假设我们抽了无数次，抽中记为1，没抽中记为0。那么，每出现一次{1,0,….,0}(30个0)的情况，就会触发一次保底，每出现一次{1,0,….,0}(60个0)的情况，就会再额外触发一次保底，以此类推。出现{1,0,….,0}(30个0)的概率为

$$P\{\{1,0,....,0\}(30个0)\}=0.0461\times(1-0.0461)^{30}=1.12\%$$

而保底的概率为

$$P\{保底\}=\frac{0.0461\times(1-0.0461)^{30}}{1-(1-0.0461)^{30}}=1.48\%$$

因此修正后的概率为

$$P\{抽中\}=P\{初始概率\}+P\{保底概率\}=4.61\%+1.48\%=6.09\%$$

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之前我们已经讨论了已知第t张已经抽中时，后续抽卡抽中的概率，那么如果我们隔天抽，忘记了上次有没有抽中，随机开抽，我们就要把保底机制考虑在内。假设无任何已知信息，我们不知道第 t 张以及之前的卡有没有抽中。显然第(t+1)张卡抽中的概率为

$$\begin{align*} P\{(t+1)保底\}&=P\{保底\}=1.48\%\\ P\{(t+1)抽中\}&=4.61\%+P\{保底\}=6.09\% \end{align*}$$

那么在第(t+2)张才是保底的概率是

$$\begin{align*} P\{(t+2)保底\}&=\frac{P\{保底\}}{P\{(t+1)不中\}}=1.57\%\\ P\{(t+2)抽中\}&=4.61\%+1.57\%=6.18\% \end{align*}$$

相似的，我们有

$$\begin{align*} P\{(t+3)保底\}&=\frac{P\{保底\}}{P\{(t+1)不中\cup(t+2)不中\}}=1.68\%\\ P\{(t+3)抽中\}&=4.61\%+1.68\%=6.29\% \end{align*}$$

类似的，我们可以得到下表：

(t+k)	触发保底	抽中	未抽中
1	1.48%	6.09%	93.91%
2	1.57%	6.18%	93.82%
3	1.68%	6.29%	93.71%
4	1.79%	6.40%	93.60%
5	1.91%	6.52%	93.48%
6	2.05%	6.66%	93.34%
7	2.19%	6.80%	93.20%
8	2.35%	6.96%	93.04%
9	2.53%	7.14%	92.86%
10	2.72%	7.33%	92.67%

因此，如果已知接下来10连不会触发保底时，抽中1张及以上的概率为

$$P\{X\ge 1\}=1-(1-0.0461)^{10}=37.6\%$$

而在未知接下来10连会不会触发保底时，抽中1张及以上的概率为

$$P\{X\ge 1\}=1-\prod_{k=1}^{10} P\{第k张不中\}=49.6\%$$

由此可见，如果放平心态，不要记着之前有没有抽到，那么下一个十连就有一半几率抽中。

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我们再来研究一下欧皇的抽卡体验。假设无任何已知条件，即不知道接下来10抽是否包含保底，那么假设第一张抽中的是第k张，后（10-k）中再抽中一张的概率是

$$P\{第k张抽中再中一张\}=P\{第k张抽中\}\left(\begin{matrix} 10-k \\ 1 \end{matrix}\right) 0.0461^{1}(1-0.0461)^{10-k-1}$$

10抽中2的概率是

$$P\{X=2\}=\sum_{k=1}^{9}\left[P\{第k张抽中\}\left(\begin{matrix} 10-k \\ 1 \end{matrix}\right) 0.0461^{1}(1-0.0461)^{10-k-1}\right]=10.4\%$$

10抽中3的概率是

$$P\{X=3\}=\sum_{k=1}^{8}\left[P\{第k张抽中\}\left(\begin{matrix} 10-k \\ 2 \end{matrix}\right) 0.0461^{2}(1-0.0461)^{10-k-2}\right]=1.26\%$$

10抽中4的概率是

$$P\{X=4\}=\sum_{k=1}^{7}\left[P\{第k张抽中\}\left(\begin{matrix} 10-k \\ 3 \end{matrix}\right) 0.0461^{3}(1-0.0461)^{10-k-3}\right]=0.102\%$$

而中5的概率是5.78e-5，不是p的，就是在用阳寿抽卡了。

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最后我们用计算机验证一下以上结论。

import numpy
import collections
total = 10000000
nums = (numpy.random.rand(total) < 0.0461).astype(int).tolist()
temp = 0
original_ones = nums.count(1)
for i in range(len(nums)):
    temp = temp + 1 if nums[i] == 0 else 0
    if temp == 30:
        temp, nums[i] = 0, 1
modified_ones = nums.count(1)
tens = [nums[i:i+10].count(1) for i in range(len(nums)//10)]
print(original_ones, modified_ones)
print(collections.Counter(tens).most_common(11))

得到结果

462562 609881
[(0, 502733), (1, 397145), (2, 87291), (3, 11757), (4, 1021), (5, 53)]

抽10,000,000抽，原始抽中462562张，修正抽中609881张。每10抽中0出现502733次，中1,2,3,4,5分别39,7145次，87,291次，1,021次，53次。与概率基本吻合，误差分析就不做了。